Výroková logika

Sestavte výrok

Přidejte proměnnou nebo operátor

Proměnné

Závorky

Operátory

Úpravy

Ovládání klávesnicí
abcd
Vložit proměnnou (pokud existuje)
(
( Levá kulatá závorka
)
) Pravá kulatá závorka
[
[ Levá hranatá závorka
]
] Pravá hranatá závorka
!~
¬ Negace – není pravda, že …
&
∧ Konjunkce – … a zároveň …
|
∨ Disjunkce – … nebo …
>
→ Implikace – jestliže …, pak …
=
↔ Ekvivalence – … právě tehdy, když …
Backspace
Smazat prvek před kurzorem nebo vybraný prvek
Delete
Smazat prvek za kurzorem nebo vybraný prvek
←
Posunout kurzor vlevo
→
Posunout kurzor vpravo
Esc
Zrušit výběr prvku

Základní ekvivalence

Kliknutím na výrok jej vložíte na pozici kurzoru do sestavovaného výroku.

Základní logické ekvivalence
NázevVýrok je ekvivalentní sEkvivalentní výrok
De Morganův zákon (negace konjunkce)≡
De Morganův zákon (negace disjunkce)≡
Negace implikace≡
Implikace pomocí disjunkce≡
Obměna implikace≡
Ekvivalence pomocí implikací≡
Ekvivalence pomocí konjunkce a disjunkce≡
Negace ekvivalence≡
Dvojí negace≡

Kvantifikátory
Kvantifikátory a jejich čtení
SymbolČte se
∀pro každé, pro všechna
∃existuje (aspoň jedno)

ℝ = reálná čísla · ℕ = přirozená čísla {1, 2, 3, …}

Jak zjistit pravdivost

  • ∃ … stačí najít jeden příklad, pro který to platí.
  • ∀ … musí to platit pro všechna; k vyvrácení stačí jeden protipříklad.

Jak negovat: ∀ se změní na ∃ a ∃ na ∀ (pořadí kvantifikátorů zůstává, mění se jen jejich druh); výrok za dvojtečkou se zneguje (= na ≠, < na ≥, > na ≤).

Příklady: rozhodněte, zda je výrok pravdivý, a vytvořte jeho negaci

  1. ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: x · y = y

    Existuje reálné číslo x takové, že pro všechna reálná y platí x · y = y.

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    Pravdivý. x = 1, protože 1 · y = y pro každé y.

    Negace: ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x · y ≠ y

    Pro každé reálné x existuje reálné y takové, že x · y ≠ y.

    Tato negace je nepravdivá.

  2. ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x + y = 0

    Pro každé reálné x existuje reálné y takové, že x + y = 0.

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    Pravdivý. Stačí zvolit y = −x.

    Negace: ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: x + y ≠ 0

    Tato negace je nepravdivá.

  3. ∀x ∈ ℝ: x² > 0

    Pro každé reálné x platí x² > 0.

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    Nepravdivý. Protipříklad: x = 0, protože 0² = 0.

    Negace: ∃x ∈ ℝ: x² ≤ 0

    Tato negace je pravdivá, třeba pro x = 0.

  4. Záleží na pořadí?

    a) ∀x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ: y > x

    b) ∃y ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ: y > x

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    a) Pravdivý. Ke každému x stačí vzít y = x + 1.

    b) Nepravdivý. Žádné přirozené číslo není větší než všechna přirozená čísla – třeba pro x = y to neplatí.