Výroková logika

Sestavte výrok

Přidejte proměnnou nebo operátor

Proměnné

Závorky

Operátory

Úpravy

Ovládání klávesnicí
abcd
Vložit proměnnou (pokud existuje)
(
( Levá kulatá závorka
)
) Pravá kulatá závorka
[
[ Levá hranatá závorka
]
] Pravá hranatá závorka
!~
¬ Negace – není pravda, že …
&
∧ Konjunkce – … a zároveň …
|
∨ Disjunkce – … nebo …
>
→ Implikace – jestliže …, pak …
=
↔ Ekvivalence – … právě tehdy, když …
Backspace
Smazat prvek před kurzorem nebo vybraný prvek
Delete
Smazat prvek za kurzorem nebo vybraný prvek
←
Posunout kurzor vlevo
→
Posunout kurzor vpravo
Esc
Zrušit výběr prvku

Základní ekvivalence

Kliknutím na výrok jej vložíte na pozici kurzoru do sestavovaného výroku.

Základní logické ekvivalence
NázevVýrok je ekvivalentní sEkvivalentní výrok
De Morganův zákon (negace konjunkce)≡
De Morganův zákon (negace disjunkce)≡
Negace implikace≡
Implikace pomocí disjunkce≡
Obměna implikace≡
Ekvivalence pomocí implikací≡
Ekvivalence pomocí konjunkce a disjunkce≡
Negace ekvivalence≡
Dvojí negace≡

Kvantifikátory
Kvantifikátory a jejich čtení
SymbolČte se
∀pro každé, pro všechna
∃existuje (aspoň jedno)

ℝ = reálná čísla · ℕ = přirozená čísla {1, 2, 3, …}

Jak zjistit pravdivost

  • ∃ … stačí najít jeden příklad, pro který to platí.
  • ∀ … musí to platit pro všechna; k vyvrácení stačí jeden protipříklad.

Dva kvantifikátory za sebou

Na pořadí záleží! Kvantifikátory se čtou zleva doprava. ∃x ∀y a ∀x ∃y jsou různé výroky – prohozením kvantifikátorů se může změnit pravdivost (viz příklad 4).

  • ∃x ∀y: najděte jedno pevné x, které vyjde pro všechna y. x volíte dřív, než znáte y. Příklad 1: x = 1.
  • ∀x ∃y: pro každé x najděte vhodné y. y smí záviset na x – často jako vzorec. Příklad 2: y = −x.
  • Vyvrácení: u ∃x ∀y ukažte, že ke každému x existuje y, pro které to neplatí; u ∀x ∃y najděte jedno x, ke kterému žádné y nevyhovuje. Příklad 4b: k y stačí vzít x = y.
  • Pomůcka: ∀ je soupeř, ∃ jste vy, tahy jdou zleva doprava. U ∀x ∃y odpovídáte na tah soupeře, proto to bývá snazší.

Jak negovat: ∀ se změní na ∃ a ∃ na ∀ (pořadí kvantifikátorů zůstává, mění se jen jejich druh); výrok za dvojtečkou se zneguje (= na ≠, < na ≥, > na ≤).

Negace v češtině

Negace číselných a obecných výrazů v češtině
VýrokNegacePříklad
alespoň nNegace: nejvýše n − 1Alespoň 3 žáci mají úkol. Negace: Nejvýše 2 žáci mají úkol.
nejvýše nNegace: alespoň n + 1Nejvýše 2 žáci chybí. Negace: Alespoň 3 žáci chybí.
právě nNegace: nejvýše n − 1, nebo alespoň n + 1Právě 2 žáci chybí. Negace: Nejvýše 1 žák chybí, nebo alespoň 3 žáci chybí.
více než nNegace: nejvýše nVíce než 5 žáků má úkol. Negace: Nejvýše 5 žáků má úkol.
méně než nNegace: alespoň nMéně než 4 žáci chybí. Negace: Alespoň 4 žáci chybí.
každý (∀)Negace: alespoň jeden … ne (∃ … ¬)Každý žák má úkol. Negace: Alespoň jeden žák nemá úkol.
alespoň jeden (∃)Negace: žádný (∀ … ¬)Alespoň jeden žák chybí. Negace: Žádný žák nechybí.

Tipy

  • Nejméně znamená totéž co alespoň, nanejvýš totéž co nejvýše.
  • Negací „alespoň“ je „nejvýše“ a naopak – číslo se přitom posune o 1. Kontrola: výrok a jeho negace musí dohromady pokrýt všechny možnosti a nesmí se překrývat (alespoň 3 = 3, 4, 5, … · nejvýše 2 = 0, 1, 2).
  • Pozor: Negace „právě n“ má dvě části spojené slovem „nebo“.
  • Pozor: „Každý nemá úkol“ je dvojznačné. Jednoznačně: „Ne každý má úkol“ (negace) nebo „Nikdo nemá úkol“ (něco jiného).

Příklady: rozhodněte, zda je výrok pravdivý, a vytvořte jeho negaci

  1. ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: x · y = y

    Existuje reálné číslo x takové, že pro všechna reálná y platí x · y = y.

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    Pravdivý. x = 1, protože 1 · y = y pro každé y.

    Negace: ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x · y ≠ y

    Pro každé reálné x existuje reálné y takové, že x · y ≠ y.

    Tato negace je nepravdivá.

  2. ∀x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ: x + y = 0

    Pro každé reálné x existuje reálné y takové, že x + y = 0.

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    Pravdivý. Stačí zvolit y = −x.

    Negace: ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ: x + y ≠ 0

    Tato negace je nepravdivá.

  3. ∀x ∈ ℝ: x² > 0

    Pro každé reálné x platí x² > 0.

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    Nepravdivý. Protipříklad: x = 0, protože 0² = 0.

    Negace: ∃x ∈ ℝ: x² ≤ 0

    Tato negace je pravdivá, třeba pro x = 0.

  4. Záleží na pořadí?

    a) ∀x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ: y > x

    b) ∃y ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ: y > x

    Ukázat řešení Skrýt řešení

    a) Pravdivý. Ke každému x stačí vzít y = x + 1.

    b) Nepravdivý. Žádné přirozené číslo není větší než všechna přirozená čísla – třeba pro x = y to neplatí.